Modele o parametrach skupionych

Odpowiednie zarządzanie jest kluczowym elementem odpowiedzialnego wykorzystania zasobów geotermalnych. Niewłaściwe nimi gospodarowanie, może mieć istotnie negatywne konsekwencje. Najczęściej wskazywanym tego przykładem jest prowadzenie eksploatacji systemu geotermalnego na poziomie nie pozwalającym na naturalne odnowienie zasobów, co prowadzi do ogólnego spadku poziomu wydobycia wód. Dlatego też, niezmiernie ważne jest aby dobrze rozpoznać zasoby oraz reakcję systemu geotermalnego na przyjęte warunki eksploatacji. W tym celu, inżynierzy złożowi opracowali wiele różnych typów modeli, aby ułatwić takie zarządzanie zasobami geotermalnymi.

Modele zbiorników geotermalnych mogą różnić się skalą i złożonością. Mogą one obejmować zarówno proste modele analityczne, jak i złożone modele numeryczne, takie jak rozbudowane modele przestrzenne 3D. Ogólnie rzecz biorąc, istnieje kompromis między złożonością a czasochłonnością i kosztochłonnością. Im bardziej złożony model, tym więcej informacji można z niego wydobyć, jednak do korzystania ze złożonych modeli potrzeba więcej danych, a często także czasu. Oznacza to, że chociaż rozbudowane modele numeryczne 3D zbiorników geotermalnych są często bardzo dobre do wykorzystania w ogólnym zarządzaniu zasobami, to przeważnie są dość kosztowne. Koszt ten może być zaporowo wysoki, zwłaszcza w przypadku systemów wykorzystywanych do ogrzewania miejskiego, gdzie wartość entalpii właściwej zasobów geotermalnych jest relatywnie niska. Oznacza to, że istnieje zapotrzebowanie na prostsze modele, które niemniej mogą być bardzo cenne w zarządzaniu niskotemperaturowymi zbiornikami geotermalnymi.
Jednym z rodzajów takich uproszczonych modeli są modele z parametrami skupionymi (Grant i Bixley 2011; Axelsson 1989). Takie modele grupują różne części zbiornika w oddzielne, jednorodne „skupione” objętości, a następnie definiują połączenia między nimi. Modele te upraszczają obraz systemu geotermalnego za pomocą niewielkiej liczby objętości i połączeń między nimi, co zmniejsza ich złożoność.

Rysunek 1. Schemat prostego modelu o parametrach skupionych, przedstawiający elementy pojedynczego zbiornika i łączności hydraulicznej.

Istnieją dwa podstawowe elementy takich modeli z parametrami skupionymi, przedstawione na rys. 1. „Skupione” objętości (bądź zbiorniki) symulują masę lub płyn zakumulowany w zbiorniku. Zakłada się, że są one jednorodne pod względem właściwości termodynamicznych płynów i skał. Połączenia (lub rezystory) opisują opory przepływu między dwoma zbiornikami, tj. między dwiema częściami systemu geotermalnego. Te dwa komponenty można następnie wykorzystać do skonstruowania modelu zbiornika, tak jak przedstawiono to na rys. 2. Wpływ eksploatacji na zbiornik geotermalny można symulować poprzez pobór lub zatłaczanie masy z/do objętości skupionych. Modele o parametrach skupionych były w przeszłości wielokrotnie wykorzystane do wiarygodnego oszacowania zdolności produkcyjnej, wskaźnika spadku ciśnienia oraz efektów ponownego zatłaczania w wielu zbiornikach geotermalnych (Axelsson et al. 2005).

Rysunek 2. Górny schemat przedstawia model koncepcyjny systemu geotermalnego, podczas gdy dolny przedstawia ten sam system geotermalny, ale za pomocą modelu o parametrach skupionych.

Z zasady zachowania masy wiemy, że wszelkie zmiany masy w zbiorniku oznaczają, że masa ta została zatłoczona do systemu lub z niego pobrana (poprzez produkcję/zatłaczanie) lub też przepłynęła do/z innego zbiornika. Dla pojedynczego zbiornika można to wyrazić następującym równaniem:

Równanie 1

gdzie

m

jest masą płynu w zbiorniku,

t

to czas,

Q

jest całkowitym przepływem masy do lub ze zbiornika i

F

opisuje zewnętrzny przepływ masy do lub ze zbiornika spowodowany produkcją lub zatłaczaniem. Zależność między masą płynu a ciśnieniem w zbiorniku można wyrazić jako:

Równanie 2

gdzie

Δ

p i jest zmianą ciśnienia w zbiorniku,

Δ

m jest zmianą masy w zbiorniku, a κ i jest współczynnikiem magazynowania zbiornika. Współczynniki magazynowania κ i zależą od objętości złoża geotermalnego, który jest opisywany za pomocą zbiornika, a także od mechanizmu magazynowania dla danej objętości. Wspomniane mechanizmy magazynowania mogą odnosić się do ściśliwości cieczy/skały w przypadku zbiorników o charakterze naporowym, lub do mobilności powierzchni swobodnej – w przypadku zbiorników o zwierciadle swobodnym.

Przepływ strumienia masy

q_{i k}

między dwoma zbiornikami i oraz k można opisać prawem Darcy’ego:

Równanie 3

gdzie

σ_{i k}

jest przewodnością pomiędzy otworami,

p_{k}

jest ciśnieniem w zbiorniku k, a

p_{i}

jest ciśnieniem w zbiorniku i. Przewodność

σ_{i k}

odzwierciedla przepuszczalność zbiornika, jak również geometrię przepływu płynu w zbiorniku. Łącząc równania 1, 2 i 3, można wyprowadzić równanie na zmianę ciśnienia w zbiorniku i w układzie N zbiorników:

Równanie 4

gdzie

f_{i}

to zewnętrzny przepływ masy (produkcja/zatłaczanie) do, lub ze zbiornika. Założono w tym miejscu, że zbiornik może być połączony z innym zbiornikiem o nieskończenie dużej objętości i stałym ciśnieniu, co pozwala symulować zasilania systemu geotermalnego.

Proste rozwiązanie analityczne dla tego równania można wyznaczyć, jeśli przyjmie się, że model o parametrach skupionych ma charakter liniowy. Taki układ przedstawiono na rys. 3.

Rysunek 3. Przykład prostego modelu o parametrach skupionych, w którym reakcję zbiornika na eksploatację (prognoza ciśnienia) można rozwiązać analitycznie (schemat z Axelsson et al. 2005).

W tym przypadku, system geotermalny można sobie wyobrazić jako zagnieżdżoną grupę zbiorników. Pierwszy zbiornik opisuje centralną lub produkcyjną część systemu geotermalnego, w której znajdują się odwierty produkcyjne. Ta centralna część jest następnie połączona z zewnętrznymi częściami zbiornika geotermalnego, które teoretycznie nie powinny być bezpośrednio dotknięte produkcją. Wreszcie, te zewnętrzne części mogą być ponownie połączone z jeszcze głębszymi i bardziej odległymi elementami systemu geotermalnego. Takie systemy liniowe zostały z powodzeniem wykorzystane do modelowania licznych systemów wód geotermalnych (Axelsson et al. 2005; Thorgilsson et al. 2020). Proste systemy liniowe dobrze sprawdzają się w modelowaniu systemów geotermalnych eksploatowanych za pomocą niewielkiej (1-2) liczby odwiertów produkcyjnych. W przypadku bardziej złożonych systemów, z wieloma odwiertami produkcyjnymi i zatłaczającymi, potrzebny jest bardziej złożony model. Jednym z celów projektu GeoModel jest wyprowadzenie ogólnego rozwiązania dla równania 4, które pozwali na użycie dowolnego rodzaju modelu o parametrach skupionych.

Literatura:

Axelsson, G., 1989. Simulation of pressure response data from geothermal reservoirs by lumped parameter models. Proceedings, 14^th Workshop on Geothermal Reservoir Engineering, Stanford University, California.

Axelsson, G., Björnsson, G., Quijano, J.E., 2005. Reliability of Lumped Parameter Modeling of Pressure Changes in Geothermal Reservoirs., Proceedings, World Geothermal Congress 2005, Antalya, Turkey.

Grant, M.A. and Bixley, P.F., 2011. Geothermal Reservoir Engineering (2^nd ed.). Academic Press.

Thorgilsson, G., Axelsson, G., Halldorsdottir, S., Hardardottir, V., Gautason, B., Oskarsson, F., 2020. The Eskifjordur Low-Temperature Geothermal System in E-Iceland, Pressure Response Modelling and Tracer Test Analysis. Proceedings, World Geothermal Congress 2020, Reykjavík, Iceland.

Wspólnie działamy na rzecz Europy zielonej, konkurencyjnej i sprzyjającej integracji społecznej

Projekt GeoModel jest dofinansowany ze środków Funduszu Współpracy Dwustronnej Mechanizmu Finansowego EOG na lata 2014–2021 i Norweskiego Mechanizmu Finansowego 2014-2021 w ramach Programu Środowisko, Energia i Zmiany klimatu.

Operatorzy Programu: Ministerstwo Klimatu i Środowiska